Question

對定義在實數集上的函數f（x），若存在實數x₀，使得f（x₀）=x₀，那么稱x₀為函數f（x）的一個不動點．
（1）已知函數f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不動點1與-3，求a、b；
（2）若對于任意實數b，函數f（x）=ax²+bx-b （a≠0）總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）的不動點為1與-3，建立方程組，即可求a，b；
（2）函數f（x）總有兩個相異的不動點，等價于方程ax²+（b-1）x-b=0（a≠0）有兩個相異實根，利用判別式，即可求實數a的取值范圍．

解答：解　（1）∵函數f（x）的不動點為1與-3，
∴

a+b-b=1 9a-3b-b=-3

，∴a=1，b=3．…（6分）
（2）∵函數f（x）總有兩個相異的不動點
∴方程ax²+（b-1）x-b=0（a≠0）有兩個相異實根，
∴△＞0，即（b-1）²+4ab＞0對b∈R恒成立…（8分）
∞△₁＜0，即（4a-2）²-4＜0…（10分）
∴0＜a＜1．…（12分）

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，正確理解新定義是關鍵，