Question

（2012•瀘州模擬）已知函數值不為1的函數f（x）定義在實數集上，且對任意x都有f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f(1)=2+

3

，則f（2011）的值為（　　）

• A．2-

  3

• B．-

  3

• C．

  3

• D．2+

  3

Answer 1

分析：由f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），且f（x）≠1可得f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，從而可得f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1

-f(x)

，進而可得f（x+8）=f（x），結合周期可求出f（2011）的值．

解答：解：∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），且f（x）≠1
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

1-f(x)+1+f(x)

1-f(x)-1-f(x)

=

1

-f(x)

，
∴f（x+8）=

1

-f(x+4)

=

1

- 1 -f(x)

=f（x），
即函數是以T=8為周期的周期函數，
∴f（2011）=f（8×251+3）=f（3）=

1+f(1)

1-f(1)

=

1+2+ 3

1-2- 3

=-

3

．
故選B．

點評：本題主要考查了由函數的遞推關系求解函數的周期，結合周期求解函數值，解題的關鍵是尋求函數的周期．