Question

(x+

1

x

)n展開式的各項系數之和大于8且小于32，則n=

 

，展開式中的常數項是

 

．

Answer 1

分析：令二項式中的x=1求得展開式的各項系數之和列出不等式求出n的值；將n的值代入二項式，利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0求出r的值，將r的值代入通項求出展開式中的常數項．

解答：解：令二項式中的x=1得展開式的各項系數之和為2ⁿ
據題意得8＜2ⁿ＜32
解得3＜n＜5
∴n=4
∴(x+

1

x

)n=(x+

1

x

)4展開式的通項為T_r+1=C₄^rx^4-2r
令4-2r=0得r=2
∴展開式中的常數項是C₄²=6
故答案為4；6．

點評：求二項展開式的各項系數和問題一般通過觀察給二項式中的x賦值求出各項系數和；求二項展開式的特定項問題一般利用的工具是二項展開式的通項公式．