Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S₂=3，且點（2ⁿ，S_n）在直線y=kx-1 上．
（1）求k的值，并證明{a_n}是等比數列；
（2）記T_n為數列{S_n}的前n項和，求使T_N＞2010成立的n最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得Sn=k•2n-1，利用S₂=3即可得到k的值，進而得到S_n．再利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得到a_n．再利用等比數列的定義即可證明；
（2）利用等比數列的前n項和公式即可得出T_n，解出T_n＞2010即可．

解答：解：（1）由題意得Sn=k•2n-1，
∵S₂=3，∴3=k•2²-1，解得k=1．
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
∴

an

an-1

=

2n

2n-1

=2，
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列；
（2）∵Tn=2+22+…+2n-n=

2(2n-1)

2-1

-n=2ⁿ⁺¹-n-2，
由2ⁿ⁺¹-n-2＞2010，得n≥10．
∴使T_N＞2010成立的n最小值是10．

點評：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求出a_n、等比數列的通項公式與前n項和公式等是解題的關鍵．