Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)后討論的范圍來判斷單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，借助得到，設(shè)，使得，設(shè)，根據(jù)該函數(shù)性質(zhì)即可證明

（1）由題意可知，，，

（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，

①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)，即時(shí)，

在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）證明：令，

由題意可得，不妨設(shè).

所以，于是.

令，，則，

，.

令，

則，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以，且，

所以，即.