Question

設f（x）是一次函數，f（0）、f（3）、f（24）成等比數列，且f（0）＞0，函數f（x）的圖象與二次函數y=x²+6的圖象有且只有一個公共點．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）設g（x）=mx²+4mx-f（x），若g（x）在區間[1，4]上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，可用待定系數法將一次函數解析式設為f（x）=ax+b（a≠0），由于f（0）、f（3）、f（24）成等比數列，由此可等到關于a，b的一個方程，又函數f（x）的圖象與二次函數y=x²+6的圖象有且只有一個公共點即由兩者聯立的方程組只有一個解，消元后利用判別式為0得到另一個關于a，b的方程，將兩方程聯立即可求得待定系數得到一次函數的解析式；
（II）由（I）可得g（x）=mx²+4mx-f（x）=mx²+（4m-4）x-2，可按二次項系數的符號分為兩類，將g（x）在區間[1，4]上是減函數轉化為關于實數m的不等式，分別解出實數m的取值范圍再求三者的并集即可得到所求的答案
解答：解：（I）設f（x）=ax+b（a≠0）…（1分）
由題意可得[f（3）]²=f（0）•f（24）
即（3a+b）²=b•（24a+b）
整理：a=2b…①…（3分）
∵函數f（x）與y=x²+6圖象有且只有一個公共點
∴ax+b=x²+6有兩相等實根
即△=a²-4•（-b+6）=0
整理：a²+4b-24=0…②…（5分）
①②聯立得或
又∵f（0）＞0，∴b＞0故（舍）
綜上所述：f（x）=4x+2…（6分）
（Ⅱ）g（x）=mx²+4mx-f（x）=mx²+（4m-4）x-2
對稱軸為
1⁰ …（8分）
2⁰ …（10分）
3⁰ m=0時g（x）=-4x-2符合題意…（12分）
綜上所述：m取值范圍為…（13分）
點評：本題考查函數與方程的應用，考查了待定系數法求解析式，二次函數的性質，考查了分類討論的思想與轉化的思想，本題綜合性強，正確解題的關鍵是理解題意將問題正確轉化，第二小題中分類討論是本題的難點，易因為默認m為正數導致失根，轉化時要考查全面