Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）設，問函數的圖像是否關于某直線成軸對稱圖形，如果是，求出的值，如果不是，請說明理由；（可利用真命題：“函數的圖像關于某直線成軸對稱圖形”的充要條件為“函數是偶函數”）

（3）設，函數，若函數與的圖像有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，是偶函數；當時，是奇函數；當 時，既不是奇函數也不是偶函數；理由見解析；（2）是軸對稱圖形，；（3）

【解析】

（1）函數，表示出，根據奇函數與偶函數的定義，即可求得的值。

（2）根據函數關于直線成軸對稱圖形，可得恒成立，代入函數解析式即可求得的值，即可得對稱軸方程。

（3）根據函數與的圖像有且只有一個公共點，即只有一個實數根。將方程化簡，根據換元法轉化為一元二次方程問題，再分類討論方程的二次項系數及根的分布問題，即可求得實數的取值范圍。

（1）函數

所以

若函數為偶函數，則，即

化簡可得 ，對任意實數成立，所以

若函數為奇函數，則，即

化簡可得 ，對任意實數成立，所以

綜上所述，當時為偶函數；當時，為奇函數；當時，既不是奇函數，也不是偶函數

（2）函數的圖像關于直線成軸對稱圖形

則為函數向左平移個單位得到的圖像，因而關于y軸對稱，即為偶函數

所以恒成立

函數

所以

化簡可得

因為對于任意實數成立

所以，解得

所以函數是軸對稱圖形，對稱軸為直線

（3）因為

則

函數，且函數與的圖像有且只有一個公共點，

所以

化簡可得

因為只有一個公共點，所以方程只有一個實數根

令

則方程化為由且只有一個正根

①當時，，不合題意，舍去

②當時，

若，則

解得

當時，代入方程可得，解得，符合題意

當時，代入方程可得，解得，不合題意

若，則

解得

由題意可知，方程有一個正根與一個負根，即

解得

綜上所述，實數的取值范圍為