Question

7．若函數$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+b}}$的圖象如圖所示，其中，當x=1時，函數f（x）取得最大值為1，則a+b=3．

Answer 1

分析 由函數$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+b}}$，在x=1取得最大值為1這一條件，可求得f′（x），列出方程組，求解即可．

解答 解：∵函數$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+b}}$，當x=1時，函數f（x）取得最大值為1，
∴f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+b）-2a{x}^{2}}{（{x}^{2}+b）^{2}}$由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a（1+b）-2a=0}\\{\frac{a}{1+b}=1}\end{array}\right.$
∴a=2，b=1，
a+b=3．
故答案為：3．

點評 本題考查導數的應用，解決的關鍵是對函數求導，得到a，b的方程組求得a，b的值的解題的關鍵．