Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明λ²+μ²為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率
（Ⅱ）用向量運算將λμ用坐標表示，再用坐標的關(guān)系求出λ²+μ²的值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
則直線AB的方程為y=x-c，代入，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則．
∵與共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴．
即，
所以a²=3b²．
∴，
故離心率．
（II）證明：由（1）知a²=3b²，
所以橢圓可化為x²+3y²=3b²．
設(shè)M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴
∵M（x，y）在橢圓上，
∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²．
即λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知．
∴，
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-c）（x₂-c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²==0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²=1．
故λ²+μ²為定值，定值為1．
點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．
是高考常見題型且是解答題．