Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，

OA

+

OB

與

a

=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

(λ，μ∈R)，證明λ²+μ²為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線與橢圓方程聯立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率
（Ⅱ）用向量運算將λμ用坐標表示，再用坐標的關系求出λ²+μ²的值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(c，0)
則直線AB的方程為y=x-c，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，

a

=(3，-1)，

OA

+

OB

與

a

共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x1+x2=

3

2

c．
即

2a2c

a2+b2

=

3c

2

，
所以a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6 a

3

，
故離心率e=

c

a

=

6

3

．
（II）證明：由（1）知a²=3b²，
所以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(c，0)可化為x²+3y²=3b²．
設M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

∵M（x，y）在橢圓上，
∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²．
即λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知a2=

3

2

c2，b2=

1

2

c2．
∴x1+x2=

3c

2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

=

3

8

c2
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-c）（x₂-c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²=

3

2

c2-

9

2

c2+3c2=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²=1．
故λ²+μ²為定值，定值為1．

點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯立用韋達定理．
是高考常見題型且是解答題．