Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，

OA

+

OB

與

a

=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  5

  3

• B、

  3

  2

• C、

  6

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：直線與橢圓方程聯立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則直線AB的方程為y=x-c，代入橢圓方程的

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2c

a2+b2

，x₁x₂=

a2c2-a2b2

a2+b2

，
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），與

a

=(3，-1)共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=

3

2

c，
∴

2a2c

a2+b2

=

3

2

c
∴a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6

3

a，
故離心率e=

c

a

=

6

3

．

點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯立用韋達定理．