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設(shè)x≥1，y≥1，證明：x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy．
證明：要證x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy，
只需證明
1
xy
-
1
x
-
1
y
≤xy-x-y，
只需證明(1-
1
x
)(1-
1
y
)≤(1-x)(1-y)=（x-1）（y-1），
只需證明1-
1
x
≤x-1；1-
1
y
≤y-1，
即證x+
1
x
≥2，y+
1
y
≥2，（x≥1，y≥1）這是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy得證．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•湖北模擬）設(shè)A、B分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，P在直線AB上，且
AP
=
3
2
PB
，|
AB
|=2+
3
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）已知E上定點(diǎn)K（-2，0）及動(dòng)點(diǎn)M、N滿足
KM
•
KN
=0，試證：直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1, 試證:|ax+by|≤1.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

設(shè)a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1, 試證:|ax+by|≤1.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年湖北省“黃岡中學(xué)、黃石二中、華師一附中、荊州中學(xué)、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、鄂南高中”八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)A、B分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，P在直線AB上，且=，||=2+．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）已知E上定點(diǎn)K（-2，0）及動(dòng)點(diǎn)M、N滿足•=0，試證：直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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