Question

設A、B分別是x軸，y軸上的動點，P在直線AB上，且=，||=2+．
（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）已知E上定點K（-2，0）及動點M、N滿足•=0，試證：直線MN必過x軸上的定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．則 =（x-x_A，y），=（-x，y_B-y）．由=，得x_A=x+，y_B=y+．由||=2+，得到動點P的軌跡E的方程．
（2）設KM：y=k（x+2）（k≠0）與3x²+4y²-12=0聯立，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，然后由根與系數的關系能夠導出直線MN的方程，令y=0得直線MN必過x軸上的定點．
解答：解：（1）設P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．
則 =（x-x_A，y），=（-x，y_B-y）．
由=，
得x_A=x+，y_B=y+．
由||=2+，
得到動點P的軌跡E的方程．
3x²+4y²-12=0．
可得點P的軌跡E的方程：+=1（5分）
（2）設KM：y=k（x+2）（k≠0）與3x²+4y²-12=0聯立
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0
設M（x₁，y₁），
則x+x₁=-，x₁=+2=
y₁=k（x+2）=
∴M（，）
設KN：y=-（x+2）（k≠0），
同理可得：N（，-）（8分）
k_MN==-  （k²≠1）（10分）
則MN：y-=-（x-）
化簡可得y=-（x+）
即MN過定點（-，0），另MN斜率不存在時，也過（-，0）（13分）
∴直線M、N必過定點（-，0）．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意挖掘隱含條件，根據實際情況注意公式的靈活運用．