Question

已知在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，+∞）時，，下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．x∈（-∞，0）時，
C．若y=f（x）-λ在R上存在零點，則
D．y=f（x）在區(qū)間（-1，0]上不是單調(diào)遞減函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題目給出的奇函數(shù)在x∈（0，+∞）時的解析式，求出函數(shù)在x=0和x∈（-∞，0）的解析式，即可判斷選項B，然后求出f（-1）的值可判斷選項A，運用函數(shù)單調(diào)性得定義可判斷選項D，對于選項C，實則是求函數(shù)f（x）在R上的值域．
解答：解：因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），則f（x）=-f（-x）=-．由此判斷選項B正確；
而f（-1）=，所以選項A正確；
因為當x∈（-∞，0）時，2^x∈（0，1），2^x+1∈（1，2），；當x=0時，f（x）=0；當x∈（0，+∞）時，2^x＞1，，．
所以，若y=f（x）-λ在R上存在零點，則λ∈∪{0}，選項C中多取了-1和1，所以不正確；
設(shè)-1＜x₁＜x₂≤0，則=，
因為-1＜x₁＜x₂≤0，所以，所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（-10，]上是增函數(shù)，不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以選項D正確；
所以說法錯誤的只有選項C．
故選C．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，考查了函數(shù)值域的求法，考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，解答此題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在R上的解析式，此題為中檔題．