Question

13、已知定義在R上的奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（-1）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值為

-1

．

Answer 1

分析：先由圖象關于直線x=1對稱得f（2-x）=f（x），再與奇函數條件結合起來，有f（x+4）=f（x），得f（x）是以4為周期的周期函數再求解．

解答：解；∵圖象關于直線x=1對稱
∴f（2-x）=f（x）
∵f（x）是奇函數
∴f（-x）=-f（x）
f（2+x）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x）
∴f（x）是以4為周期的周期函數．
∵f（1）=-1，f（2）=-f（0）=0，f（3）=f（2+1）=-f（1）=1，f（4）=f（4+0）=f（0）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=f（2009）=f（502×4+1）=f（1）=-1
故答案為：-1

點評：本題主要考查函數的奇偶性和對稱性以及性質間的結合與轉化，如本題周期性就是由奇偶性和對稱性結合轉化而來的．