Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=45°，cosB=

4

5

，a=5，D為AB的中點，則CD=

37

2

．

Answer 1

分析：由B為三角形內角，根據cosB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，確定出AD的長，在三角形ACD中，利用余弦定理即可求出CD的長．

解答：解：∵B為三角形內角，cosB=

4

5

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
在△ABC中，由正弦定理得：

b

sinB

=

a

sinA

，
即

b

3 5

=

5

2 2

，
∴b=3

2

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即18=25+c²-8c，
解得：c=1（不合題意，舍去）或c=7，
∴△ACD中，由余弦定理得：
CD²=AD²+AC²-2AD•ACcosA=（

7

2

）²+（3

2

）²-2×

7

2

×3

2

×

2

2

=

37

4

，
則CD=

37

2

．
故答案為：

37

2

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．