Question

已知R上可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0的解集

（1，3）

．

Answer 1

分析：由f（x）的圖象可知：當x＜-1或x＞1時，函數f（x）單調遞增，f^′（x）＞0；當-1＜x＜1時，函數f（x）單調遞減，f^′（x）＜0．
不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0可化為

x2-2x-3＞0 f′(x)＜0

或

x2-2x-3＜0 f′(x)＞0

解出即可．

解答：解：由f（x）的圖象可知：當x＜-1或x＞1時，函數f（x）單調遞增，∴f^′（x）＞0；當-1＜x＜1時，函數f（x）單調遞減，f^′（x）＜0．
不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0可化為

x2-2x-3＞0 f′(x)＜0

或

x2-2x-3＜0 f′(x)＞0

化為

x＞3或x＜-1 -1＜x＜1

或

-1＜x＜3 x＜-1或x＞1

，
解得∅或1＜x＜3．
∴不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0的解集是（1，3）．
故答案為（1，3）．

點評：熟練掌握函數的單調性與當時的關系、不等式的解法、數形結合的思想方法是解題的關鍵．