Question

已知R上可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（　　）

A．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

C．（-∞，-2）∪（1，2）

D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由函數f（x）的圖象可得其導函數在不同區間內的符號，再由（x²-2x-3）f′（x）＞0得到關于x的不等式組，求解不等式組后取并集即可得到原不等式的解集．

解答：解：由函數f（x）的圖象可得，
當x∈（-∞，-1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0．
由（x²-2x-3）f′（x）＞0?

f′(x)＞0 x2-2x-3＞0

①或

f′(x)＜0 x2-2x-3＜0

②
解①得，x＜-1或x＞3，
解②得，-1＜x＜1．
綜上，不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）．
故選B．

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，訓練了不等式組的解法，考查了數學轉化思想方法，是基礎的運算題．