Question

等差數列{x_n}的前n項和記為S_n，等比數列{b_n}的前n項和記為T_n，已知x₃=5，S₃為9，b₂=x₂+1，∅（lim，n→∞） T_n=16．
（1）求數列{x_n}的通項x_n；
（2）設M_n=lgb₁+lgb₂+…+lgb_n，求M_n的最大值及此時的n的值；
（3）判別方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出兩個基本量x₁和d．再求通項公式．
（2）注意到lgb_n是等差數列，再根據等差數列前n項和是二次函數的知識去解題．
（3）判斷方程無解時注意到范圍的限制，可分情況討論之．
解答：解：（理）（1）⇒
解得
∴x_n=2n-1
（2）由題意，b₂=4=b₁q結合無窮等比數列各項和，=16，解得
易得b_n=8^n-1
而{lgb_n}是以lg8為首相，lg0.5為公差的等差數列，
∴M_n=lg8×n+0.5n（n-1）lg0.5-lg0.5=-0.5lg2[（n-3.5）²-49/4]
∴n=3或4時有最大值6lg2；
（3）sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
1°n=1時，sin²1+cos1=0不成立
2°n=2時，sin²3+3cos3+1=4，1-cos²3+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立
3°n≥3放縮法sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+2n-1+1＜1+2n＜n²
綜上，無解．
點評：本題中考查了等比數列和等差數列的基本知識點及兩者的聯(lián)系．第三問是對不等式放縮的運用技巧，根據所求結論的形式進行放縮．