Question

已知數列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的兩根，等差數列{y_n}滿足y_n=log₂x_n，且其公差為負數，
（1）求數列{y_n}的通項公式；
（2）證明：數列{x_n}為等比數列；
（3）設數列{x_n}的前n項和為S_n，若對一切正整數n，S_n＜a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的兩根，等差數列{y_n}滿足y_n=log₂x_n，且其公差為負數，能夠推導出y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）由y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n，知

xn+1

xn

=

26-n

27-n

=

1

2

，由此能夠證明數列{x_n}為等比數列．
（3）Sn=

26(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn=128，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的兩根，
∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，
∵等差數列{y_n}滿足y_n=log₂x_n，且其公差為負數，
∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．
y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n
∴

xn+1

xn

=

26-n

27-n

=

1

2

，
∴數列{x_n}為等比數列．
（3）Sn=

26(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn=128，
故所求a的取值范圍為a≥128．

點評：本題考查通項公式的求法、等比數列的證明和實數a的取值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．