Question

【題目】從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個深度為米的圓錐筒（如圖2）.若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.

（1）求圓錐筒的容積；

（2）在（1）中的圓錐內有一個底面圓半徑為的內接圓柱（如圖3），求內接圓柱側面積最大時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據圓錐的結構特征，扇形即為為圓錐的側面展開圖，求出圓錐的底面半徑和高，即可求出容積；

（2）根據圓柱內接圓錐關系，求出圓柱的高與底面半徑的關系式，進而求出圓柱側面積的目標函數，根據函數特征求其最值即可.

（1）設圓錐筒的半徑為，容積為，

∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，

∴，解得，

∴，

∴.

∴圓錐筒的容積為.

（2）設內接圓柱高為則有，由圓錐內接圓柱的軸截面圖，

得，

所以內接圓柱側面積

，

所以當時內接圓柱側面積最大.