Question

【題目】設是在點處的切線．

（1）求證： ；

（2）設，其中．若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求導得切線斜率，進而得切線方程，令，求導利用單調性可得，從而得證.

（2）由，結合定義域，討論時，由可得，得函數單增，可證得，討論時，由導數可得存在 ，使得，，從而得解.

（1）設 ，則，所以．所以 ．

令．

滿足，且．

當時， ，故單調遞減；

當時， ，故單調遞增．

所以， ．所以 ．

（2）法一： 的定義域是，且 ．

① 當時，由（1）得 ，

所以 ．

所以 在區間 上單調遞增， 所以 恒成立，符合題意．

② 當時，由，且的導數，

所以 在區間上單調遞增．

因為，

于是存在 ，使得．

所以 在區間 上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，此時不會恒成立，不符合題意．

綜上， 的取值范圍是．

法二：∵

∴

當

當

令=

令,

故,故，

綜上.