Question

（2011•湖北）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n（n∈N^*，r∈R，r≠﹣1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）
（2）見解析

（1）由已知a_n+1=rS_n，則a_n+2=rS_n+1，兩式相減得
a_n+2﹣a_n+1=r（S_n+1﹣S_n）=ra_n+1
即a_n+2=（r+1）a_n+1
又 a₂=ra₁=ra
∴當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列{a_n}為：a，0，0，…；
當(dāng)r≠0時(shí)，由r≠﹣1，a≠0，∴a_n≠0
由a_n+2=（r+1）a_n+1得數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=r（r+1）^n﹣2a
綜上數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
（2）對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差數(shù)列，理由如下：
當(dāng)r=0時(shí)，由（1）知，
∴對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差數(shù)列；
當(dāng)r≠0，r≠﹣1時(shí)
∵S_k+2=S_k+a_k+1+a_k+2，S_k+1=S_k+a_k+1
若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差數(shù)列，則2S_k=S_k+1+S_k+2
∴2S_k=2S_k+a_k+2+2a_k+1，即a_k+2=﹣2a_k+1
由（1）知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=﹣2，于是
對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1=﹣2a_m，從而a_m+2=4a_m，
∴a_m+1+a_m+2=2a_m，即a_m+1，a_m，a_m+2成等差數(shù)列
綜上，對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差數(shù)列．