Question

（2012•廣東）設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足，且a₁，a₂+5，a₃成等差數列．
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數n，有．

Answer 1

（1）1    （2）a_n=3ⁿ﹣2ⁿ   （3）見解析

（1）在2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1中，
令n=1得：2S₁=a₂﹣2²+1，
令n=2得：2S₂=a₃﹣2³+1，
解得：a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13
又2（a₂+5）=a₁+a₃
解得a₁=1
（2）由2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，
得a_n+2=3a_n+1+2ⁿ⁺¹，
又a₁=1，a₂=5也滿足a₂=3a₁+2¹，
所以a_n+1=3a_n+2ⁿ對n∈N*成立
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ﹣2ⁿ；
（3）（法一）
∵a_n=3ⁿ﹣2ⁿ=（3﹣2）（3^n﹣1+3^n﹣2×2+3^n﹣3×2²+…+2^n﹣1）≥3^n﹣1
∴≤，
∴+++…+≤1+++…+=＜；
（法二）∵a_n+1=3ⁿ⁺¹﹣2ⁿ⁺¹＞2×3ⁿ﹣2ⁿ⁺¹=2a_n，
∴＜•，，
當n≥2時，＜•，＜•，，
…＜•，
累乘得：＜•，
∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．