Question

已知函數f（x）=（x-2a）（x-a-1）．
（I）當a＞1時，解關于x的不等式f（x）≤0；
（II）若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過解方程求出方程的兩個根，利用當a＞1時，解關于x的不等式f（x）≤0；
（II）對a=1與a＞1與a＜1，利用?x∈（5，7），通過不等式f（x）≤0恒成立，列出不等式組，求實數a的取值范圍．

解答：解：（I）令（x-2a）（x-a-1）=0．
得x₁=2a，x₂=a+1，-------------（1分）
x₁-x₂=a-1，
因為a＞1，所以a-1＞0，即2a＞a+1，-------------（2分）
由f（x）=（x-2a）（x-a-1）≤0，解得a+1≤x≤2a．-------------（4分）
（II）當a=1時，2a=a+1，f（x）=（x-2）²，不符合題意．-----（5分）
當a＞1時，2a＞a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
則有

a+1≤5 2a≥7

 解得

7

2

≤a≤4．-------------（7分）
當a＜1時，2a＜a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
則有

a+1≥7 2a≤5

，a無解．------------（9分）
綜上，實數a的取值范圍是

7

2

≤a≤4．-------------（10分）

點評：本題考查函數恒成立二次不等式的解法，分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．