Question

已知f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax(a≠1)
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若y=f（x）的圖象與x軸有三個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，由a大于1和a小于1分兩種情況考慮分別令導函數的值大于0，求出x的范圍即為函數的遞增區間；導函數值小于0時，求出x的范圍即為函數的遞減區間；
（2）由（1）的導函數值為0時x的值為函數f（x）的極值點，故分a大于1和a小于1時兩種情況分別求出f（x）的極大值和極小值，又f（x）函數圖象與x軸有三個交點，即極大值與極小值的乘積小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
當a＞1時，由f′（x）＞0得x＜1或x＞a，
∴x∈（-∞，1）和（a，+∞）時，f（x）單調遞增，x∈（1，a）時，f（x）單調遞減；
當a＜1時，由f′（x）＞0，得x＜a或x＞1，
∴x∈（-∞，a）和（1，+∞）時，f（x）單調遞增，x∈（a，1）時，f（x）單調遞減．
（2）由（1）知x=1和x=a是f（x）得極值點，
a＞1時，f（1）是極大值，f（a）是極小值；a＜1時，f（a）是極大值，f（1）是極小值，
又y=f（x）的圖象與x軸有三個交點，
∴f（1）•f（a）＜0，即

1

2

(a-

1

3

)•[-

1

6

a2(a-3)]＜0，
∴(a-3)(a-

1

3

)＞0，
∴a＞3或a＜

1

3

．

點評：此題考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值．導函數的值與函數單調性的關系為：令導函數的值大于0，求出x的取值范圍即為函數的遞增區間；令導函數的值小于0，求出x的取值范圍即為函數的遞減區間．