Question

已知函數 f（x）=a•sin（πx+θ）+b•cos（πx+θ）+4，若f（2004）=3，則 f（2005）=

 

．

Answer 1

分析：把函數f（x）的解析式的前兩項提取

a2+b2

，設cosα=

a

a2+b2

，sinα=

b

a2+b2

，根據兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

求出f（x）的周期，由求出的周期可得f（2004）與f（0）相等，把x=0代入f（x）的解析式，得到一個關系式，再由周期可得所求式子與f（1）相等，把x=1代入f（x）解析式，變形后，把得到的關系式整體代入可得f（1）的值，即為所求式子的值．

解答：解：函數f（x）=a•sin（πx+θ）+b•cos（πx+θ）+4
=

a2+b2

sin（πx+θ+α）+4，（cosα=

a

a2+b2

，sinα=

b

a2+b2

），
∵ω=π，∴T=

2π

π

=2，
又f（2004）=f（0）=3，即f（0）=asinθ+bcosθ+4=3，
所以asinθ+bcosθ=-1，
則f（2005）=f（1+1002×2）=f（1）=a•sin（π+θ）+b•cos（π+θ）+4
=-（asinθ+bcosθ）+4=-（-1）+4=5．
故答案為：5

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有三角函數的定義，誘導公式，兩角和與差的正弦函數，以及函數周期性的應用，其中根據三角函數的恒等變形把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．