Question

給定橢圓方程，求與這個(gè)橢圓有公共焦點(diǎn)的雙曲線，使得以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，并求相應(yīng)的四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)所求雙曲線的方程是，由題設(shè)知c²=α²+β²=a²-b²．由方程組，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．由此可推出相應(yīng)的四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：設(shè)所求雙曲線的方程是
由題設(shè)知c²=α²+β²=a²-b²．
由方程組
解得交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．
由橢圓和雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性知，以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是長(zhǎng)方形，其面積
因?yàn)镾與同時(shí)達(dá)到最大值，
所以當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值2ab
這時(shí)，
因此，滿足題設(shè)的雙曲線方程是．
相應(yīng)的四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．