Question

給定橢圓方程

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞b＞0)，求與這個橢圓有公共焦點的雙曲線，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大，并求相應的四邊形的頂點坐標．

Answer 1

分析：設(shè)所求雙曲線的方程是

x2

α2

-

y2

β2

=-1，由題設(shè)知c²=α²+β²=a²-b²．由方程組

x2 b2 + y2 a2 =1 x2 α2 - y2 c2-α2 =-1

，解得交點的坐標滿足x2=

b2α2

c2

，y2=a2(1-

α2

c2

)，即|x|=

bα

c

，|y|=α

1- α2 c2

．由此可推出相應的四邊形頂點坐標．

解答：解：設(shè)所求雙曲線的方程是

x2

α2

-

y2

β2

=-1
由題設(shè)知c²=α²+β²=a²-b²．
由方程組

x2 b2 + y2 a2 =1 x2 α2 - y2 c2-α2 =-1

解得交點的坐標滿足x2=

b2α2

c2

，y2=a2(1-

α2

c2

)，即|x|=

bα

c

，|y|=α

1- α2 c2

．
由橢圓和雙曲線關(guān)于坐標軸的對稱性知，以它們的交點為頂點的四邊形是長方形，其面積S=4|xy|=4ab•

α

c

1- α2 c2

因為S與

α2

c2

(1-

α2

c2

)同時達到最大值，
所以當(

a

c

)2=

1

2

時達到最大值2ab
這時α2=

1

2

c2=

1

2

(a2-b2)，β2=

1

2

c2=

1

2

(a2-b2)，
因此，滿足題設(shè)的雙曲線方程是

x2

1 2 (a2-b2)

-

y2

1 2 (a2-b2)

=-1．
相應的四邊形頂點坐標是(

2

2

b，

2

2

a)，(-

2

2

b，

2

2

a)，(-

2

2

b，-

2

2

a)，(

2

2

b，-

2

2

a)．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．