Question

（2012•泉州模擬）已知二次函數f（x）=ax²+bx，則“f（2）≥0”是“函數f（x）在（1，+∞）單調遞增”的（　　）

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：當a＜0時，-

b

2a

≤1，對應的拋物線開口向下，可推得函數f（x）在（1，+∞）單調遞減，即不能由f（2）≥0，推得函數f（x）在（1，+∞）單調遞增；但可由函數f（x）在（1，+∞）單調遞增推得f（2）≥0，由充要條件的定義可得答案．

解答：解：二次函數f（x）=ax²+bx必過原點，由f（2）≥0得，4a+2b≥0，
當a＞0時，-

b

2a

≤1，對應的拋物線開口向上，可推得函數f（x）在（1，+∞）單調遞增，
但，當a＜0時，-

b

2a

≤1，對應的拋物線開口向下，可推得函數f（x）在（1，+∞）單調遞減．
故不能由f（2）≥0，推得函數f（x）在（1，+∞）單調遞增．
反之，若函數f（x）在（1，+∞）單調遞增，則必有a＞0，
由數形結合可知，對稱軸x=-

b

2a

≤1，即可得-b≤2a，即4a+2b≥0，即f（2）≥0，
故由充要條件的定義可知，f（2）≥0是函數f（x）在（1，+∞）單調遞增的必要不充分條件．
故選C．

點評：本題為充要條件的判斷，正確把握二次函數的單調性與開口復方向以及對稱軸的關系式解決問題的關鍵，屬基礎題．