Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）-e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：n＞m；
（3）求證：對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿(mǎn)足e=

c

a

=

2

2

，并確定這樣的e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=x（x-1）•e^x．由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，知欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，需-2＜t≤0．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，因?yàn)閒（-2）=

13

e2

＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），由此能夠證明n＞m．
（Ⅲ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

f′(x0)

ex0

=x02-x0，所以x 02-x0=

2

3

(t-1)2，令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解．由此能夠證明對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿(mǎn)足e=

c

a

=

2

2

，并能確定這樣的e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x
=x（x-1）•e^x．…（2分）
由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，…（6分）
又f（-2）=

13

e2

＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）
（Ⅲ）證：因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

f′(x0)

ex0

=x02-x0，

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即為x 02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，
從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解，
下面討論解的個(gè)數(shù)：…（11分）
因g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以 ①當(dāng)t＞4，或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）
②當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解．…（14分）
③當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有僅有一解；
當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，∴x=-2，或x=3，
所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿(mǎn)足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1) 2，
且當(dāng)t≥4，或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x₀適合題意；
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x₀適合題意．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．