Question

設定義在R上的奇函數f（x）滿足，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＜0，且f（2）=0，則不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0的解集為（　　）

A．（-∞，-2]∪（0，2]

B．[-2，0]∪[2，+∞）

C．（-∞，-2]∪[2，+∞）

D．[-2，0）∪（0，2]

Answer 1

分析：由題意可得，函數的圖象關于原點對稱，函數在（0，+∞）上是增函數，函數在（-∞，0）上也是增函數．由不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0 可得

f(x)

x

≥0，再由f（2）=-f（-2）=0，數形結合可得不等式的解集．

解答：解：由題意可得，函數的圖象關于原點對稱，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂ ，
都有圖象上任意兩點連線的斜率k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，故函數在（0，+∞）上是增函數，
故函數在（-∞，0）上也是增函數．
由不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0 可得 

-5f(x)

5x

≤0，

f(x)

x

≥0．
再由f（2）=0可得f（-2）=0，故有不等式結合圖象可得x≥2，或 x≤-2，
故選C．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合應用，其它不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．