Question

設F是橢圓

x2

7

+

y2

6

=1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點P_i（i=1，2，3，…），使|FP₁|，|FP₂|，|FP₃|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：若這個等差數列是增數列，則a1≥|FP1| =

7

-1，a21≤|FP21| =

7

+1；若這個等差數列是減數列，則a1≤ |FP1|=

7

+1，a21≥ |FP2|=

7

-1，由此可求出d的取值范圍．

解答：解：若這個等差數列是增數列，則a1≥|FP1| =

7

-1，a21≤|FP21| =

7

+1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＜a21-a1=20d≤(

7

+1)-(

7

-1)=2，
解得0＜d≤

1

10

．
若這個等差數列是減數列，則a1≤ |FP1|=

7

+1，a21≥ |FP2|=

7

-1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＞a21-a1=20d≥(

7

-1) -(

7

+1)=-2，
解得-

1

10

≤d＜0．
∴d的取值范圍為[-

1

10

，0)∪(0，

1

10

]．
答案：[-

1

10

，0)∪(0，

1

10

]．

點評：本題以橢圓知識為載體考查數列知識，體現了出題人的智慧．