Question

如圖，設F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，直線l為左準線，直線l與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知

PM

=2

MF

，且|

MN

|=8．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P作直線與橢圓交于A、B兩點，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的長軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和

PM

=2

MF

求得離心率，進而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，進而根據S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意

|MN|

=8，得2a=8，∴a=4．
又

PM

=2

MF

，∴e=

1

2

∴c=2，b²=a²-c²=12．
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）設過P點的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=

1

2

|PF|•|yB-yA|=

72 m2-4

3m2+4

．
即S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3×16

=3

3

．
當且僅當3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

時等號成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是3

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與橢圓的關系．解題最后注意對所求的m的值代入判別式進行驗證．保證答題的嚴密性．