Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S。

   （I）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；

   （II）求面積S的最大值。

Answer 1

解：（I）依題意，以AB為中點O為原點建立直角坐標系O―xy（如圖），

則點C的橫坐標為x.

點C的縱坐標y滿足方程

解得

其定義域為 

   （II）記

則

令                                                                   

因為當，

所以的最大值。                                                         

因此，當，

即梯形面積S的最大值為