Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）求面積S的最大值．

Answer 1

分析：（I）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系，由圖可得C的橫坐標，進而可以表示出c的縱坐標，由解析式分析x的取值范圍，即函數的定義域，可得答案；
（II）利用導數計算，記f（x）=4（x+r）²（r²-x²），（0＜x＜r），對其求導可得f′（x）=8（x+r）²（r-2x），求得其導函數的零點，分析其單調性，可得當x=

1

2

r時，S也取得最大值，即可得答案．

解答：解：（I）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系O-xy（如圖），
則點C的橫坐標為x，
點C的縱坐標y滿足方程

x2

r2

+

y2

4r2

=1(y≥0)，
解得y=2

r2-x2

(0＜x＜r)S=

1

2

(2x+2r)•2

r2-x2

=2(x+r)•

r2-x2

，
其定義域為{x|0＜x＜r}．
（II）記f（x）=4（x+r）²（r²-x²），（0＜x＜r），
則f′（x）=8（x+r）²（r-2x）．
令f′（x）=0，得x=

1

2

r．
因為當0＜x＜

r

2

時，f′（x）＞0；當

r

2

＜x＜r時，
f′（x）＜0，所以f(

1

2

r)是f（x）的最大值．
因此，當x=

1

2

r時，S也取得最大值，最大值為

f( 1 2 r)

=

3 3

2

r2．
即梯形面積S的最大值為

3 3

2

r2．

點評：本題考查橢圓方程及其性質的應用與根據導數求函數的最值的方法；第一注意結合題意，建立合適的坐標系，其次在運用導數求函數的最值時，注意自變量的實際意即函數的定義域．