Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．以AB為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）寫出該半橢圓的方程；求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）設f（x）=S²，求f（x）的最大值，并求出此時的x值（均用r表示）

Answer 1

分析：（I）由題意，長半軸長為2r，短半軸長為r，可得半橢圓方程；設點C的縱坐標y，易知C點橫坐標為x，從而可求面積S；
（II）f（x）=S²=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，求導函數，可求f（x）的最大值，并求出此時的x值．

解答：解：（I）由題意，長半軸長為2r，短半軸長為r，
∴半橢圓方程

x2

r2

+

y2

4r2

=1(y≥0)
設點C的縱坐標y，易知C點橫坐標為x，則y=2

r2-x2

(0＜x＜r)，
從而S=2(x+r)•

r2-x2

，其定義域為{x|0＜x＜r}．
（II）f（x）=S²=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，
則f'（x）=8（x+r）²（r-2x）．
令f'（x）=0，得x=

1

2

r．
因為當0＜x＜

r

2

時，f'（x）＞0；當

r

2

＜x＜r時，f'（x）＜0，所以f(

1

2

r)是f（x）的最大值．
因此，當x=

1

2

r時，f（x）的最大值為

9

4

r4．

點評：本題考查橢圓方程，考查面積的計算，考查導數知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．