Question

已知函數f（x）=+alnx，且x=3是函數f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）-m，試就實數m的不同取值，討論函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數．（參考數據：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer 1

【答案】分析：（I）根據f′（x）=--1+，及x=3是函數f（x）的一個極值點得a=4．
（II）有函數求導得到導函數，在令導函數大于零解出的x的范圍即為函數的單調區間；
（III）由題意先求出函數f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是函數y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數，結合圖象即得．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=--1+，
由x=3是函數f（x）的一個極值點得：
f′（3）=--1-=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=--1+，根據f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）為其單調遞減區間；
（1，3）為其單調遞增區間；（ 3，+∝）為其單調遞減區間；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是函數y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數，由下表結合圖象得

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
F′（x）	-		-		-
F（x）	減	極小值2	增	極大值4ln3-2	減	4ln5-22/5

當m＜2時，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是為0；
當m=2或m＞4ln3-2時，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是為1；
當2＜m＜4ln5-或m=4ln3-2時，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是為2；
當4ln5-≤m＜4ln3-2時，函數y=g（x）在區間（0，5]上零點的個數是為3；
點評：此題重點考查了函數利用導函數求其單調區間，還考查了函數存在極值的條件及判斷方法．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值，體現了轉化的思想和分類討論的思想，同時考查學生的計算能力．