Question

【題目】已知、是橢圓上的兩點(diǎn)，且，其中為橢圓的右焦點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定值和定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，使得為定值

【解析】

（1）討論直線的斜率為0與不為0,斜率為0時(shí)，直接得到，斜率不為0時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立可得到，.即可得到，又等價(jià)于，代入即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍。

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，令 由（1）的結(jié)果代入計(jì)算，得到為定值，即，解出即可得到答案。最后說明直線的斜率為0是也成立即可。

（1）由已知條件知：直線過橢圓右焦點(diǎn).

當(dāng)直線與軸重合時(shí)，.

當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，可設(shè)：，代入橢圓方程，并整理得.

設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，.

所以.又由得，所以，解之得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）設(shè)，則

為定值，所以，解得.

故存在定點(diǎn)，使得為定值.

（經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)與軸重合時(shí)也成立）