Question

設(shè)0＜a＜b，且f(x)=

1+ 1+x

x

，則下列大小關(guān)系成立的是（　　）

• A．f(a)＜f(

  a+b

  2

  )＜f(

  ab

  )
• B．f(

  a+b

  2

  )＜f(b)＜f(

  ab

  )
• C．f

  ab

  ＜f(

  a+b

  2

  )＜f(a)
• D．f(b)＜f(

  a+b

  2

  )＜f(

  ab

  )

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將f（x）變形為f（x）=

1

1+x -1

，由單調(diào)性的性質(zhì)分析可得f（x）=

1+ 1+x

x

為減函數(shù)，由不等式的性質(zhì)可得當(dāng)0＜a＜b時(shí)，a＜

ab

＜

a+b

2

＜b成立，結(jié)合f（x）的單調(diào)性，可得f（a）＞f（

ab

）＞f（

a+b

2

）＞f（b），分析選項(xiàng)可得答案．

解答：解：f（x）=

1+ 1+x

x

=

1

1+x -1

，
令t=

1+x

-1，易得t＞0且t為增函數(shù)，
則f（x）=

1+ 1+x

x

為減函數(shù)，
又由0＜a＜b，可得a＜

ab

＜

a+b

2

＜b，
則有f（a）＞f（

ab

）＞f（

a+b

2

）＞f（b），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．