Question

經過點A(-3，-

3

2

)，傾斜角為α的直線與圓x²+y²=25相交于BC兩點
（1）求弦BC的長
（2）當A恰為BC的中點時，求直線BC的方程
（3）當|BC|=8時，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）根據A坐標與傾斜角表示出直線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，根據垂徑定理，勾股定理即可求出BC的長；
（2）若A為BC中點，得出A垂直于BC，求出直線OA的斜率，確定出直線的斜率，即可確定出BC方程；
（3）由（1）表示出的弦長列出方程求出方程的解得到tanα的值，即可確定出BC方程．

解答：解：（1）根據題意得：直線方程為y+

3

2

=k（x+3），其中k=tanα，即2kx-2y+6k-3=0，
∵圓心到直線的距離d=

|6k-3|

4k2+4

，r=5，
∴|BC|=2

r2-d2

=

64k2+36k+91 k2+1

；
（2）當A為BC中點時，OA⊥BC，
∵直線OA的斜率為

- 3 2

-3

=

1

2

，
∴直線BC斜率為-2，即直線BC方程為4x+2y+15=0；
（3）當|BC|=8，即

64k2+36k+91 k2+1

=8，
解得：k=-

3

4

，
則直線BC方程為3x+4y+15=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．