Question

4．已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（2+x）=（2一x），且當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）．若2＜a＜4，則f（log₂a，f（2^a），f（3）的大小關系為f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．（用“＜”連接）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數f（x）關于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調性，從而可得答案．

解答 解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關于直線x=2對稱；
又當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；
同理可得，當x＜2時，f（x）在（-∞，2）單調遞減；
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；
∴f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．
故答案為：f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．

點評 本題考查抽象函數及其應用，考查導數的性質，判斷f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調性是關鍵，屬于中檔題．