Question

在邊長為2的正三角形內隨機地取一點，則該點到三角形各頂點的距離均不小于1的概率是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點幾何概型，我們可以求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內的點到正方形的頂點A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．

解答：解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：
其中正三角形ABC的面積S_三角形=

3

4

×4=

3

滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于1的平面區域如圖中陰影部分所示
則S_陰影=

1

2

π
則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是
P=

S空白部分

S三角形

=

3 - 1 2 π

3

=

6- 3 π

6

故答案為：

6- 3 π

6

．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=

N(A)

N

求解．