Question

（2012•杭州一模）已知定義在R上的函數f（x）=x²（ax-3）+2，其中a為常數．
（1）若x=1是函數y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若函數y=f（x）在區間（-1，0）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當a＞0時，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=0處取得最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函數f（x）的一個極值點則知f'（1）=0，代入導函數即可；
（2）要求函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數，則要求導函數f'（x）在區間（-1，0）大于零即可，另外要注意對a的討論；
（3）要求函數g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，即求函數g（x）的極值并將之與函數端點值g（0），g（2）進行比較大小，得出在函數g（x）[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2），再根據條件在x=0處取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²+2，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個極值點，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①當a=0時，
f（x）=-3x²在區間（-1，0）上是增函數
∴a=0符合題意；
②當a≠0時，f'（x）=3ax（x-

2

a

），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

，
當a＞0時，對任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當a＜0時，當x∈（

2

a

，2）時，f'（x）＞0，∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合題意），
綜上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），顯然有△=4a²+4＞0．
設方程（*）的兩個根為x₁，x₂，由（*）式得 x₁x₂=-

2

a

＜0，不妨設x₁＜0＜x₂．
當0＜x₂＜2時，g（x₂）為極小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
當x₂≥2時，由于g（x）在[0，2]上是單調遞減函數
所以最大值為g（0），所以在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0處取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤

6

5

，又因為a＞0，所以a∈（0，

6

5

]

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，關鍵在于比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 的大小，從而得到函數的最值，另外還有分類討論的思想，屬于基礎題．