Question

（2012•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2cos（B-C）=4sinB•sinC-1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin

B

2

=

1

3

，求b．

Answer 1

分析：（1）由已知利用兩角和的余弦公式展開整理，cos（B+C）=-

1

2

．可求B+C，進而可求A
（2）由sin

B

2

=

1

3

，可求cos

B

2

=

2 2

3

，代入sinB=2sin

B

2

cos

B

2

可求B，然后由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，可求b

解答：解：（1）由2cos（B-C）=4sinBsinC-1 得，
2（cosBcosC+sinBsinC）-4sinBsinC=-1，即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1．
從而2cos（B+C）=-1，得cos（B+C）=-

1

2

．    …4分
∵0＜B+C＜π
∴B+C=

2π

3

，故A=

π

3

．    …6分
（2）由題意可得，0＜B＜

2

3

π
∴0＜

B

2

＜

π

3

，
由sin

B

2

=

1

3

，得cos

B

2

=

2 2

3

，
∴sinB=2sin

B

2

cos

B

2

=

4 2

9

．    …10分
由正弦定理可得

b

sinB

=

a

sinA

，∴

b

4 2 9

=

3

3 2

，
解得b=

8 6

9

．    …12分．

點評：本題主要考查了兩角和三角公式的應用，由余弦值求解角，同角基本關系、二倍角公式、正弦定理的應用等公式綜合應用．