【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是邊長為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點M是PD的中點．
(1)證明：PB∥平面AMC；
(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）連接BD交AC于點O，由三角形中位線可得OM∥PB. 再根據線面平行判定定理得結論（2）先根據空間直角坐標系，再設立各點坐標，根據方程組解得平面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系得結果．
試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接OM，因為四邊形ABCD為菱形，OB＝OD，又M為PD的中點，所以OM∥PB.
由PB平面AMC，OM平面AMC，所以PB∥平面ACM.
(2)取AB的中點N，連接PN，ND，則∠AND＝90°，
分別以NB，ND，NP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系N－xyz，
則B
，C
，
A
，D
，P
，M
，
則
＝
，
＝
.
設平面AMC的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令y＝
，則x＝－1，
z＝－
，即n＝
.又
＝
，設直線BD與n所成的角為θ，則cosθ＝
＝
，故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為.
學練快車道快樂假期寒假作業系列答案
新思維寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數集
（
，
）具有性質
：對任意
、
（
），
與
兩數中至少有一個屬于集合
，現給出以下四個命題：①數集
具有性質；②數集
具有性質；③若數集具有性質，則
；④若數集
（
）具有性質，則
；其中真命題有________（填寫序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某零售公司從1月至6月的銷售量與利潤的統計數據如下：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售量 | 6 | 8 | 12 | 13 | 11 | 10 |
利潤 | 12 | 16 | 26 | 29 | 25 | 22 |
（1）根據2月至5月4個月的統計數據，求出
關于
的回歸直線方程
.（
的結果用分數表示）；
（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與實際數據的誤差均不超過1萬元，則認為得到的回歸直線方程是有效的.試用1月和6月的數據估計所得的回歸直線方程是否有效？
參考公式：
，
.
參考數據：
，
.
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【題目】某漁業公司今年初用98萬元購進一艘漁船進行捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.
（1）該船捕撈第幾年開始盈利？
（2）若該船捕撈
年后，年平均盈利達到最大值，該漁業公司以24萬元的價格將捕撈船賣出；求并求總的盈利值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，太極圖展現了一種相互轉化，相互統一的和諧美.定義：能夠將圓
的周長和面積同時等分成兩部分的函數稱為圓的一個“太極函數”.下列有關說法中正確的個數是（ ）個
①對圓
的所有非常數函數的太極函數中，一定不能為偶函數；
②函數
是圓
的一個太極函數；
③存在圓，使得
是圓的太極函數；
④直線
所對應的函數一定是圓
的太極函數.
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求證：MN∥平面BDE；
(2)求二面角CEMN的正弦值；
(3)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為
，求線段AH的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在
上的奇函數.
（1）當
時， 
，若當
時， 
恒成立，求
的最小值；
（2）若
的圖像關于
對稱，且
時， 
，求當
時， 的解析式；
（3）當
時， 
.若對任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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【題目】下列幾個命題：①若方程
的兩個根異號，則實數
；②函數
是偶函數，但不是奇函數；③函數 
在
上是減函數，則實數a的取值范圍是
；④ 方程 
的根
滿足
，則m滿足的范圍
，其中不正確的是（ ）
A.①B.②C.③D.④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設二次函數
滿足下列條件：當
時，
的最小值為0，且
成立；當
時，
恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若對
，不等式
恒成立、求實數
的取值范圍；
（3）求最大的實數
，使得存在實數
，只要當
時，就有
成立.
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