Question

【題目】設二次函數滿足下列條件：當時，的最小值為0，且成立；當時，恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若對，不等式恒成立、求實數的取值范圍；

（3）求最大的實數，使得存在實數，只要當時，就有成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9.

【解析】

（1）由知函數圖象的對稱軸是，最小值為0，因此頂點為，這樣函數解析式可寫為，在不等式令得，從而有，由此可求得；

（2）不等式化為，當時，應有，當，應有．由此可得的取值范圍；

（3）由，即的圖象與直線切于點，因此把的圖象向右平移，就有一部分滿足，由此可找到的最大值．

解：（1）由題意，函數的頂點坐標為，

解析式可設為，

又，∴，∴，∴，

經檢驗，當時，恒成立，

∴函數解析式為.

（2）不等式變形為：，

令，對稱軸為，

當即時，在上單調增，∴，解得，∴.

當時，，解得，

∴.

綜上所述.

（本小問也可用分離參數的方法來求）

（3）當時，與相切于點，向右平移的過程中，

令與相交于兩點和（在左），

由圖可知，當點與重合時，點的橫坐標即為的最大值.

此時，得或-4，∴.

消去得：，解得或9，

∴的最大值為9.