Question

11．已知橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，P為橢圓上任意一點，△PF₁F₂的周長為$4+2\sqrt{3}$，直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與圓x²+y²=1相切，過橢圓C的右焦點F₂作垂直于x軸的直線，與橢圓相交于M，N兩點，與線段AB相交于一點（與A，B不重合）．求四邊形MANB面積的最大值及取得最大值時直線l的方程；
（Ⅲ）若|AB|=2，試判斷直線l與圓x²+y²=1的位置關系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）由已知求出MN的長度，然后，由直線和圓相切得到m，k的關系，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B的橫坐標，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四邊形ACBD的面積有最大值時的m，k的值，從而得到直線l的方程．
（Ⅲ）由|AB|=2，得到m，k的關系，再用m，k表示圓心到直線l的距離d，求出d的取值范圍即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（ I）設橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，由題可知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{2（a+c）=4+2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，--（1分）
解得$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，-----------------------（2分）
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．-----------------------（3分）
（ II）令$x=\sqrt{3}$，解得$y=±\frac{1}{2}$，所以|MN|=1，-----------------------（4分）
直線l與圓x²+y²=1相切可得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²+1=m²，-----------------------（5分）
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0-----------（6分）
所以${S_{MANB}}=\frac{1}{2}|{MN}||{{x_1}-{x_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{2\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$----（7分）
將k²+1=m²代入可得${S_{MANB}}=\frac{{2\sqrt{3}|k|}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{1}{|k|}+4|k|}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．------------------（8分）
當且僅當$\frac{1}{|k|}=4|k|$，即$k=±\frac{1}{2}$時，等號成立，此時$m=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
所以，當$k=±\frac{1}{2}$時，四邊形MANB的面積具有最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線l方程是$y=\frac{1}{2}x-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．-----------------------（9分）
（ III）$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=2$-----------------------（10分）
整理得$1+4{k^2}-{m^2}=\frac{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}{{4（1+{k^2}）}}$，所以${m^2}=1+4{k^2}-\frac{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}{{4（1+{k^2}）}}=\frac{{3（1+4{k^2}）}}{{4（1+{k^2}）}}$
設圓心到直線l的距離為d，則${d^2}=\frac{m^2}{{1+{k^2}}}=\frac{{3（1+4{k^2}）}}{{4{{（1+{k^2}）}^2}}}$-----------------------（11分）
設1+k²=t，t≥1，則k²=t-1，
所以${d^2}=\frac{12t-9}{{4{t^2}}}=\frac{3}{t}-\frac{9}{{4{t^2}}}=-{（\frac{3}{2t}-1）^2}+1≤1$-----------------------（12分）
當$t=\frac{3}{2}$，即${k^2}=\frac{1}{2}$時，d²=1，----------------------（13分）
所以當$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，直線l與圓相切，當$k≠±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，時，直線l與圓相交．------（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，屬中檔題