Question

【題目】如圖，在三棱錐中，分別是的中點，

（1） 求證：平面；

（2） 求異面直線與所成角的余弦值；

（3） 求點到平面的距離。

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；

（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；

（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

解：（I）證明：連結OC

在中，由已知可得

而 即

平面

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

在中，

是直角斜邊AC上的中線，

（III）解：設點E到平面ACD的距離為

在中，

而

點E到平面ACD的距離為