Question

在△ABC中，點M是BC的中點，△AMC的三邊長是連續三個正整數，且tan∠C=cot∠BAM．
（I）判斷△ABC的形狀；
（II）求∠BAC的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設∠BAM=α，∠MAC=β，根據正弦定理可找到α，β與B，C的正弦之間的關系，進而再由誘導公式可確定α與β的關系．
（2）先設出3個連續的整數，再由勾股定理確定關系，根據余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．
解答：解：（I）設∠BAM=α，∠MAC=β，
則由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中，由正弦定理得
同理得，
∵MB=MC，∴，
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β，∴α=β或α+β=90°
當α+β=90°時，，
與△AMC的三邊長是連續三個正整數矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

（II）在直角三角形AMC中，設兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，
由（n+1）²=n²+（n-1）²得n=4，
由余弦定理或二倍角公式得
或
點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用．三家函數部分公式比較多，一定要強化記憶．